Números Transfinitos

El matemático George Cantor a finales del siglo XIX  desarrolló la “aritmética de los números transfinitos”, dando de un sentido al concepto de infinito. En resumidas palabras decía que había diferentes infinitos, incluso de mayor tamaño que el propio concepto que tenemos de infinito.

Aleph sub-cero es el cardinal de los números naturales, que es el mismo de los enteros y el mismo de los racionales y existe otro tipo de infinito que es el infinito del continuo que es el de los números reales, denominado potencia del continuo (c) o Aleph sub-uno. Realmente llamarlo Aleph sub-uno sería errar, puesto que este sería el siguiente numero transfinito mayor a Aleph sub-cero. Este problema no esta resuelto aún y tiene por nombre Hipótesis del continuo.

Símbolo de Aleph

Hay un número infinito de más infinitos, cada uno mayor que el anterior, hasta llegar al mayor de todos ellos, conocido como el infinito absoluto. Cantor le da el nombre de "omega", sería por ejemplo contar todos los planetas del universo.

David Hilbert inventó una paradoja para explicar la relación que puede haber entre los distintos infinitos de Aleph sub-cero, llamada el Hotel Infinito. La paradoja consistía en la construcción de un hotel con infinitas habitaciones, una construido el hotel tuvo tanto éxito que se lleno con infinitos huéspedes, ahí esta la primera paradoja, puesto que estaría lleno el hotel, entonces llega un nuevo cliente y ve la situación y le propone al dueño que todos los huéspedes se trasladaran a la habitación n+1, pudiendo dormir el nuevo cliente en la habitación número 1. ¿Que pasaría con el huésped de la última habitación al ir ala habitación n+1? Es sencillo, no existe el concepto de último.

Al día siguiente llega una agencia de viajes que necesita hospedar a infinitos turistas durante un día estando el hotel lleno, como vimos anteriormente. La agencia le propuso que todos los clientes del hotel multiplicaran el número de su habitación por 2 y que se mudaran a esa habitación, el resultado es que sólo estrían ocupadas las infinitas habitaciones pares, dejando las infinitas habitaciones impares para los infinitos nuevos turistas.

Una cosa que nos demuestra este ejemplo es que tenemos que recordar es que infinito no significa un número grande. Si fuese así, siempre podríamos encontrar un número algo mayor.